Question

【题目】在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH=45°,DG、DH分别与对角线AC交于点E、F,则线段AE、EF、FC之间的数量关系为_______ .

Answer 1

【答案】

【解析】

把△DCH绕点D顺时针旋转90°至△DAH’，在GH上截取GM=AG，连接EM、FM，

证明△DH’G≌△DHG，从而证明MH=CH，再证明△AGE≌△MGE、△CHF≌△MHF，从而得到∠EMF=90°，即可证明结论.

证明：将△DCH绕点D顺时针旋转90°至△DAH’，在GH上截取GM=AG，连接EM、FM，

∵∠ADC=90°，∠GDH=45°，

∴∠ADG+∠CDH=45°，

∵∠ADH’=∠CDH，

∴∠ADG+∠ADH’=45°，即∠GDH’ =45°，

∴∠GDH=∠GDH’，

又DG=DG，DH=DH’，

∴△DH’G≌△DHG，

∴H’G=HG，∠DGH’=∠DGH，∠DHG =∠DH’G=∠DHC，

又∵GM=AG，

∴MH=AH’=CH，

∵GM=AG，∠DGH’=∠DGH，EG=EG，

∴△AGE≌△MGE，

∴AE=ME，∠EMG=∠EAG，

∵MH=CH，∠DHG =∠DHC，FH=FH，

∴△CHF≌△MHF，

∴CF=MF，∠FCH=∠FMH，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠EAG=∠FCH=45°，

∴∠EMG=∠FMH=45°，

∴∠EMF=90°，

∴，

∴.