Question

已知，Rt△ABC中的两个直角边a，b分别是关于x的方程x²-x+k=0的两个实数根，且sinA+sinB=，求k值及∠A的大小．

Answer 1

解：由题意知a+b=，ab=k．
∵sinA+sinB=．
∴+=，
=．
∴==．
解得k=．
代入原方程得x²-x+=0．
∵△=2-2=0．
∴a=b=．
所以∠A=45°．
分析：根据勾股定理将sinA+sinB=转化为关于a，b的方程，在用根与系数的关系转化为关于k的方程，求出k的值并检验，由根的判别式知两直角边a=b，得出∠A的大小．
点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-，x_l•x₂=．
（3）在Rt△ABC中，若∠C=90°，则sinA=，a²+b²=c²．