Question

已知关于一元二次方程(x－m)²＋6x＝4m－3有实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)设方程的两实数根分别为x₁与x₂，求x₁·x₂－x－x的最大值．

Answer 1

 解：(1)由(x－m)²＋6x＝4m－3，得

x²＋(6－2m)x＋m²－4m＋3＝0.

∴Δ＝b²－4ac＝(6－2m)²－4×1×(m²－4m＋3)＝－8m＋24.(2分)

∵方程有实数根，∴－8m＋24≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3

(2)∵方程的两实根分别为x₁与x₂，

∴x₁＋x₂＝2m－6，x₁·x₂＝m²－4m＋3，

∴x₁·x₂－x－x＝3x₁·x₂－(x₁＋x₂)²

＝3(m²－4m＋3)－(2m－6)²＝－m²＋12m－27＝－(m－6)²＋9.

∵m≤3，且当m＜6时，－(m－6)²＋9的值随m的增大而增大，

∴当m＝3时，x₁·x₂－x－x的值最大，最大值为－(3－6)²＋9＝0，

∴x₁·x₂－x－x的最大值为0.