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【题目】如图,正方形ABCD中,CD=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.

(1)求证:①△ABG≌△AFG; ②求GC的长;

(2)求△FGC的面积.

【答案】(1)见解析;(2)3.6

【解析】

试题分析:(1)①利用翻折变换对应边关系得出AB=AF,∠B=∠AFG=90°,利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可;

②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,进而求出BG即可;

(2)首先过C作CM⊥GF于M,由勾股定理以及由面积法得,CM=2.4,进而得出答案

解:(1)①在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=∠BCD=90°,

∵将△ADE沿AE对折至△AFE,

∴AD=AF,DE=EF,∠D=∠AFE=90°,

∴AB=AF,∠B=∠AFG=90°,

又∵AG=AG,

在Rt△ABG和Rt△AFG中,

∴△ABG≌△AFG(HL);

②∵CD=3DE

∴DE=2,CE=4,

设BG=x,则CG=6﹣x,GE=x+2

∵GE2=CG2+CE2

∴(x+2)2=(6﹣x)2+42

解得x=3,

∴CG=6﹣3=3;

(2)如图,过C作CM⊥GF于M,

∵BG=GF=3,

∴CG=3,EC=6﹣2=4,

∴GE==5,

CMGE=GCEC,

∴CM×5=3×4,

∴CM=2.4,

∴S△FGC=GF×CM=×3×2.4=3.6.

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