Question

如图，已知一次函数的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间为t（s），其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）求线段AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD的面积等于△AOB面积的；
（3）当t为何值时，△ACD是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）如图1，作CH⊥OA于H，
则△ACH～△ABO，
∴
∴
∴
∴=
=，
，
∴，
即4t²-20t+9=0
解得：（舍去），
故时，；

（3）①如图2，当AC=AD时，5-t=t，
∴解得：（符合题意）；
②如图3，当AC=CD时，过点C作CH⊥AD于点H，
由（2）得出：CH=，AH=DH=t，
∴==，
解得：（符合题意），
③如图4，当AD=CD时，过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠OAB=∠HAD，∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽∽ABO，
∴=，
=
解得：（符合题意），
故t为或或时△ACD是一个等腰三角形．
分析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）首先表示出△ACD的面积，求出△AOB的面积，再利用△ACD的面积等于△AOB面积的求出即可；
（3）分别根据①当AC=AD时，②当AC=CD时，③当AD=CD时，利用相似三角形的性质求出即可．
点评：此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键，不要漏解．