Question

已知直线y=kx+b分别与y轴、x轴相交于A、B两点，与二次函数y=x²-mx+3的图象交于A、C两点．
（1）当点C坐标为（-

11

2

，

57

8

）时，求直线AB的解析式；
（2）在（1）中，如图，将△ABO沿y轴翻折180°，若点B的对应点D恰好落在二次函数y=x²-mx+3的图象上，求点D到直线AB的距离；
（3）当-1≤x≤1时，二次函数y=x²-mx+3有最小值-3，求实数m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令x=0求出y的值得到点A的坐标，然后设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）令y=0求出点B的坐标，然后根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数求出点D的坐标，然后根据∠ABO的正弦值列式计算即可得解；
（3）表示出抛物线的对称轴，然后根据对称轴的位置，分别根据二次函数的增减性和最值问题列式计算即可得解．

解答：解：（1）令x=0则y=3，
∴点A（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

b=3 - 11 2 k+b= 57 8

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

4

x+3；

（2）令y=0，则-

3

4

x+3=0，
解得x=4，
∴点B（4，0），
点B关于y轴的对称点D的坐标为（-4，0），
∴BD=4-（-4）=4+4=8，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
设点D到直线AB的距离为h，
则sin∠ABO=

h

BD

=

OA

AB

，
即

h

8

=

3

5

，
解得h=4.8，
即点D到直线AB的距离是4.8；

（3）对称轴为直线x=

m

2

，
当

m

2

≤-1，即m≤-2时，x=-1时二次函数的最小值为-3，
（-1）²-m•（-1）+3=-3，
解得m=-7；
当-1＜

m

2

＜1，即-2＜m＜2时，x=

m

2

时二次函数有最小值为-3，

4×1×3-m2

4×1

=-3，
解得m=±2

6

，都不满足-2＜m＜2，舍去；
当

m

2

≥1即m≥2时，x=1时二次函数的最小值为-3，
1²-m•1+3=-3，
解得m=7，
综上所述，实数m的值为7或-7．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，二次函数的最值问题，难点在于（3）根据对称轴的位置情况分情况讨论．