Question

如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE．
（1）求证：∠AFB与∠BAC互补；
（2）图1中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由．
（3）若将“AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上”改为“AB=kAC，点D在BC的延长线上，点E、F分别在DA和DA的延长线上”，其他条件不变（如图2）．若CE=1，BF=3，∠BAC=α，求AF的长（用含k和α的式子表示）．

Answer 1

考点：相似形综合题,平行线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：压轴题

分析：（1）由BF∥CE得∠AFB=∠CEF，由∠AEC=∠BAC，∠CEF与∠AEC互补即可证到∠AFB与∠BAC互补．
（2）由图可猜想CE=AF．在AF上取一点G，使AG=BF，易证△ABF≌△CAG，从而有AF=CG，∠AFB=∠CGA；由∠AFB=∠CEF可得∠CGA=∠CEF，从而有CE=CG，则CE=AF．
（3）作∠GBA=∠EAC，点G在DA的延长线上，如图2，易证△GBA∽△EAC，从而有

AG

CE

=

AB

AC

=k，∠BGA=∠AEC=∠BAC=α．由BF∥CE可得∠BFG=180°-∠FEC=180°-α=∠BGF，从而有BG=BF．作BH⊥FG，垂足为H，如图2，可证到GF=2FH．从而可得AF=AG+GF=AG+2FH=kCE+2BFcos∠BFG=k+6cos（180°-α）．

解答：（1）证明：如图1，∵BF∥CE，
∴∠AFB=∠CEF．
∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC=∠BAC，
∴∠CEF与∠BAC互补．
∴∠AFB与∠BAC互补．
（2）存在，CE=AF．
证明：在AF上取一点G，使AG=BF，如图1．
∵∠AFB+∠BAF+∠CAF=∠AFB+∠BAC=180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠CAF．
在△ABF和△CAG中，

AB=AC ∠ABF=∠CAG BF=AG

，
∴△ABF≌△CAG（SAS）． 
∴AF=CG，∠AFB=∠CGA．
又∵∠AFB=∠CEF，
∴∠CGA=∠CEF．
∴CE=CG．
∴CE=AF．
（3）解：作∠GBA=∠EAC，点G在DA的延长线上，如图2．
∵∠AEC=∠BAC，
∠GAB+∠BAC+∠EAC=180°，
∠ECA+∠AEC+∠EAC=180°，
∴∠GAB=∠ECA．
∵∠GBA=∠EAC，∠GAB=∠ECA，
∴△GBA∽△EAC．
∴

AG

CE

=

AB

AC

=k，∠BGA=∠AEC=∠BAC=α．
∴AG=kCE．
∵BF∥CE，
∴∠BFG=180°-∠FEC=180°-∠BGA=∠BGF，
∴BG=BF．
作BH⊥FG，垂足为H，如图2，
∵BG=BF，BH⊥FG，
∴GH=FH．
∴GF=2FH．
在Rt△BHF中，cos∠BFG=

FH

BF

，
∴FH=BF•cos∠BFG．
∵CE=1，BF=3，∠BAC=α，
∴AF=AG+GF
=AG+2FH
=kCE+2BFcos∠BFG
=k+6cos（180°-α）．
∴AF的长为k+6cos（180°-α）．

点评：本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，综合性强，有一定的难度．