Question

我们在学习“§2.5等腰三角形的轴对称性”时，有一个思考：“如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果∠B=30°，那么AC与AB有怎样的数量关系？”请你写出AC与AB所满足的数量关系并证明．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：方法一：取AB的中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DB=CD=AD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，然后判断出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AC=CD=AD，从而得证；
方法二：延长AC到D，使AC=DC，利用“边角边”证明△BCA和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠DBC=30°，∠D=∠A=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，AD=AB，再根据AD=2AC等量代换即可得证．

解答：解：数量关系：AB=2AC．
理由如下：方法一：取AB的中点D，连接CD，
∵∠ACB=90°，
∴DB=CD=AD，
又∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD=AD，
∴AC=CD=AD=BD，
即AB=2AC；

方法二：证明：延长AC到D，使AC=DC，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=∠DCB=90°，∠A=60°，
在△BCA和△BCD中，

BC=BC ∠ACB=∠DCB AC=DC

，
∴△BCA≌△BCD（SAS），
∴∠ABC=∠DBC=30°，∠D=∠A=60°，
即∠DBA=60°，
∴△ABD是等边三角形，AD=AB，
又∵AC=DC，
∴AD=2AC，
∴AB=2AC．

点评：本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的证明，主要利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．