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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-1)2-4a(a>0)交x轴于A、B两点,点A在点B的左边,其顶点为点C,一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点,其顶点D在x轴上方,且其纵坐标为3,连接AC、AD、CD.

(1)直接写出A、B两点的坐标;

(2)求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式;

(3)当ACD为等腰三角形时,求a的值;

(4)将线段AC绕点A旋转90°,若点C的对应点恰好落在(2)中的抛物线上,直接写出a的值.

【答案】1 A(-1,0),B(3,0),2y=-x2+x+3 a=或a=;(4)a1=,a2=

【解析】

试题分析:(1)根据点的特点,令y=0,求出方程的解,即可;

(2)根据抛物线解析式确定出点C,D的坐标和对称轴方程,再设出所求解析式即可.

(3)ACD为等腰三角形时,分三种情况计算:以CD为底时,则C,D关于x轴对称,建立方程求解,以AC为底时,则AD=CD,建立方程求解,以AD为底时,则AC=CD,建立方程求解即可.

(4)先表示出直线AC的解析式为y=-2ax-2a,从而求出直线l与抛物线的交点M(),然后表示出AM,AC建立方程即可.

试题解析:(1)令y=0,

a(x-1)2-4a=0,

a>0,

(x-1)2-4=0

x1=-1,x2=3,

A(-1,0),B(3,0),

(2)y=a(x-1)2-4a,

抛物线的顶点C(1,-4a),对称轴为x=1,

D(1,3),

设经过A,B,D三点的抛物线解析式为y=m(x-1)2+3,

m=-

经过A,B,D三点的抛物线解析式为y=-(x-1)2+3=-x2+x+

(3)当ACD为等腰三角形时,分三种情况计算,

以CD为底时,则C,D关于X轴对称,

C(1,-3),

-4a=-3,

a=

以AC为底时,则AD=CD,

根据勾股定理得,AD=

CD=2-(-4a)=3+4a=

a=

以AD为底时,则AC=CD,

根据勾股定理得,AC=

CD=3-(-4a)=2

a=-<0(舍);

(4)由(1)知,A(-1,0),C(1,4a),AC=2

直线AC的解析式为y=-2ax-2a,

设线段AC绕点A旋转90°得到的直线为l,

lAC且过点A,

直线l解析式为y=x+

抛物线y=-x2+x+

3ax2+(2-6a)x+2-9a=0,

x1=1(舍),x2=

直线l与抛物线的交点M(),

AM=|6a-1|×

AM=AC,

2=|6a-1|×

6a2=|6a-1|

6a-10,6a2=6a-1,

a=

6a-1<0,6a2=1-6a,

a=-3±),

:a1=,a2=

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