【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-1)2-4a(a>0)交x轴于A、B两点,点A在点B的左边,其顶点为点C,一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点,其顶点D在x轴上方,且其纵坐标为3,连接AC、AD、CD.
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式;
(3)当△ACD为等腰三角形时,求a的值;
(4)将线段AC绕点A旋转90°,若点C的对应点恰好落在(2)中的抛物线上,直接写出a的值.
【答案】(1) A(-1,0),B(3,0),(2)y=-x2+x+,(3) a=或a=;(4)a1=,a2=.
【解析】
试题分析:(1)根据点的特点,令y=0,求出方程的解,即可;
(2)根据抛物线解析式确定出点C,D的坐标和对称轴方程,再设出所求解析式即可.
(3)△ACD为等腰三角形时,分三种情况计算:①以CD为底时,则C,D关于x轴对称,建立方程求解,②以AC为底时,则AD=CD,建立方程求解,③以AD为底时,则AC=CD,建立方程求解即可.
(4)先表示出直线AC的解析式为y=-2ax-2a,从而求出直线l与抛物线的交点M(,),然后表示出AM,AC建立方程即可.
试题解析:(1)令y=0,
∴a(x-1)2-4a=0,
∵a>0,
∴(x-1)2-4=0
∴x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
(2)∵y=a(x-1)2-4a,
∴抛物线的顶点C(1,-4a),对称轴为x=1,
∴D(1,3),
设经过A,B,D三点的抛物线解析式为y=m(x-1)2+3,
∴m=-,
∴经过A,B,D三点的抛物线解析式为y=-(x-1)2+3=-x2+x+,
(3)当△ACD为等腰三角形时,分三种情况计算,
①以CD为底时,则C,D关于X轴对称,
∴C(1,-3),
∴-4a=-3,
∴a=,
②以AC为底时,则AD=CD,
根据勾股定理得,AD=,
∴CD=2-(-4a)=3+4a=,
∴a=;
③以AD为底时,则AC=CD,
根据勾股定理得,AC=,
∴CD=3-(-4a)=2,
∴a=-<0(舍);
(4)由(1)知,A(-1,0),C(1,4a),AC=2,
∴直线AC的解析式为y=-2ax-2a,
设线段AC绕点A旋转90°得到的直线为l,
∴l⊥AC且过点A,
∴直线l解析式为y=x+,
∵抛物线y=-x2+x+,
∴3ax2+(2-6a)x+2-9a=0,
∴x1=1(舍),x2=,
∴直线l与抛物线的交点M(,),
∴AM=|6a-1|×,
∵AM=AC,
∴2=|6a-1|×,
∴6a2=|6a-1|
当6a-1≥0时,6a2=6a-1,
∴a=,
当6a-1<0时,6a2=1-6a,
∴a=-3±(舍),
即:a1=,a2=.
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A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
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A. 3.6×10﹣5 B. 0.36×10﹣5 C. 3.6×10﹣6 D. 0.36×10﹣6
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A.3
B.4
C.5
D.不能确定
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