Question

19．毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究：

名称图形 几何 点数	三角形	正方形	五边形	六边形
第1层	1	1	1	1
第2层	2	3	4	5
第3层	3	5	7	9
…	…	…	…	…
第n层

（1）六边形第5层的几何点数是17；第n层的几何点数是4n-3．
（2）在第6层时，六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍．

Answer 1

分析 （1）观察六边形时，前三层的几何点数分别是1=4×1-3、5=4×2-3、9=4×3-3，可得第5层的几何点数及第n层的几何点数；
（2）首先得出三角形第n层点数是n，然后根据六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍，列方程、解方程可得．

解答 解：（1）∵六边形第1层几何点数：1=4×1-3；
六边形第2层几何点数：5=4×2-3；
六边形第3层几何点数：9=4×3-3；
∴六边形第5层几何点数为：4×5-3=17，
六边形第n层几何点数为：4n-3；
（2）∵三角形第一层点数为1，第二层点数为2，第三层点数为3，
∴三角形第n层的几何点数为n；
由六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍，得
4n-3=3.5n，解得n=6；
则在第6层时，六边形的几何点数是三角形的几何点数的3.5倍．
故答案为：（1）17，4n-3；（2）6．

点评 本题主要考查图形的变化问题，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解是解题关键．