Question

【题目】（本题共12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）．已知点坐标为．

（1）求此抛物线的解析式；

（2） 过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相交；过程见解析；（3）△PAC的面积最大值为；点的坐标为．

【解析】

试题分析：

（1）首先将抛物线的解析式设成顶点式，然后将点的坐标代入求出函数解析式；

（2）首先根据函数解析式求出点和点的坐标，从而得出的长度，然后设圆与相切于点，连接，根据题意得出和相似，从而得出的长度，然后得出答案；

（3）过点作轴的平行线交于点，求出的解析式，根据函数解析式分别设出点和点的坐标，求出的长度，然后将的面积用含的代数式表示出来，从而根据函数的性质得出最大值．

试题解析：

解:（1）设抛物线为．

∵抛物线经过点，

∴．

∴．

∴抛物线为........（2分）

（2）与相交．

当时，，．

∴为，为........（2分）

∴．

设与相切于点，连接，则．

∵，

∴．

又∵，

∴．

∴

∴．

∴．

∴........（3分）

∵抛物线的对称轴为，

∴点到的距离为．

∴抛物线的对称轴与相交........（5分）

（3）过点作平行于轴的直线交于点．

根据题意可得：的解析式为........（1分）

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）．

∴．

∵........（3分）

∴当时，的面积最大为........（4分）

此时，点的坐标为........（5分）