Question

4．已知AB、BC是⊙O的两条弦，AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AC，∠AOB=120°，则∠CAB的度数是15°或75°．

Answer 1

分析 ①若点C在优弧AB上，根据AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AC设AC=2x、AB=$\sqrt{6}$x，作OD⊥AB、作OE⊥AC，由∠AOB=120°、OA=OB得∠OAD=30°，在Rt△OAD中可得OA=$\sqrt{2}$x，在Rt△OAE中由cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$可得∠OAE度数，继而根据∠CAB=∠OAB+∠OAE可得∠CAB度数；
②当点C在劣弧AB上时，与（1）同理可得∠OAB=30°，∠OAE=45°，根据∠CAB=∠OAE-∠OAD可得此时∠CAB的度数，即可得答案．

解答 解：①如图1，若点C在优弧AB上，

∵AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AC，
∴设AC=2x，则AB=$\sqrt{6}$x，
过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，AE=$\frac{1}{2}$AC=x，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAD=30°，
在Rt△OAD中，OA=$\frac{OD}{cos∠OAD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{2}$x，
在Rt△OAE中，cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{x}{\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAE=45°，
∴∠CAB=∠OAB+∠OAE=75°；
②如图2，当点C在劣弧AB上时，

由①知，∠OAB=30°，∠OAE=45°，
∴∠CAB=∠OAE-∠OAD=15°，
故答案为：15°或75°．

点评 本题主要考查垂径定理及三角函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键．