Question

已知关于x的方程mx²+2（m+1）x+m=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的平方和为6，求m的值．

Answer 1

解：（1）由题意，得
解之得：m≥-且m≠0；
（2）设原方程的两个根为α、β，
则α+β=-，αβ=1．
依题意，得α²+β²=6，
∴（α+β）²-2αβ=6．
即-2=6
解之得m₁=1+，m₂=1-，
由（1）知：m≥-且m≠0，
∵1+＞-，1-＞-
∴m=1±．
分析：（1）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）两个实数根的平方和为6，即（α+β）²-2αβ=6，根据一元二次方程的根与系数的关系解答．
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
一元二次方程根与系数的关系：x_l+x₂=-；x_l•x₂=．