Question

19．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、点C到直线l的距离分别是3和4，则该正方形中AC的长是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正方形的性质可以得出∠ABC=90°，AB=BC，结合∠ABE+∠CBF=90°，进而得出∠ABE=∠BCF，就有△ABE≌△BCF，AE=BF，利用勾股定理即可求出答案．

解答 解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF．
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFB}\\{∠ABE=∠BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（AAS），
∴AE=BF．
∵AE=3，
∴BF=3，
在At△BFC中，由勾股定理，得BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
故答案为5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．