Question

如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y=

k

x

在第一象限的图象分别交矩形OABC的边AB、BC边点于E、F，已知BE=2AE，四边形的OEBF的面积等于12．
（1）求k的值；
（2）若射线OE对应的函数关系式是y=

x

6

，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，连结AC，试证明：EF∥AC．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,解分式方程,反比例函数系数k的几何意义,平行线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）由△OAE面积与k的关系可求得k值．
（2）由于点E为两函数的交点，联立方程可求得点E的坐标，进而求出点B、F的坐标，由勾股定理即可求出EF的长．
（3）易证△BEF∽△BAC，从而得到∠BEF=∠BAC，进而得到两直线平行．

解答：解：（1）连接OB，如图1所示．
∵S_△OAB=S_△OCB，S_△OCF=S_△OAE=

1

2

k，
∴S_△OFB=S_△OBE．
∵S_△OFB+S_△OBE=12，
∴S_△OBE=6，
∵BE=2AE，
∴S_△OBE=2S_△OAE=6，
∴S_△OAE=

1

2

k=3．
∴k=6．
∴k的值为6．
（2）解方程

x

6

=

6

x

，得：
x=±6，
∵点E在第一象限，
∴x=6，
把x=6代入y=

6

x

，
得y=1，即点E（6，1）．
∵BE=2AE，
∴点B（6，3）．
把y=3代入y=

6

x

，得：
x=2．
∴点F（2，3）．
∴BF=6-2=4，BE=3-1=2．
在直角△BEF中，根据勾股定理得：
EF=

BF2+BE2

=

42+22

=2

5

．
（3）连接AC，如图2所示．
∵BF=4，BE=2，BC=6，BA=3，
∴

BF

BC

=

4

6

=

2

3

，

BE

BA

=

2

3

，
∴

BF

BC

=

BE

BA

，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAC．
∴∠BEF=∠BAC．
∴EF∥AC．

点评：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定等知识，有一定的综合性．