Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（1，0），直线y=2x-1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点A到直线CD的距离；
（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题,动点型

分析：（1）首先求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设直线CD与x轴交于点E，求出点E的坐标，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出点A到直线CD的距离；
（3）△GPQ为等腰直角三角形，有三种情形，需要分类讨论．为方便分析与计算，首先需要求出线段PQ的长度．

解答：解：（1）直线y=2x-1，当x=0时，y=-1，则点C坐标为（0，-1）．
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵点A（-1，0）、B（1，0）、C（0，-1）在抛物线上，
∴

a-b+c=0 a+b+c=0 c=-1

，
解得

a=1 b=0 c=-1

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-1．

（2）如答图2所示，直线y=2x-1，
当y=0时，x=

1

2

；
设直线CD交x轴于点E，则E（

1

2

，0）．
在Rt△OCE中，OC=1，OE=

1

2

，
由勾股定理得：CE=

5

2

，
设∠OEC=θ，则sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．
过点A作AF⊥CD于点F，
则AF=AE•sinθ=（OA+OE）•sinθ=（1+

1

2

）×

2 5

5

=

3 5

5

，
∴点A到直线CD的距离为

3 5

5

．

（3）∵平移后抛物线的顶点P在直线y=2x-1上，
∴设P（t，2t-1），则平移后抛物线的解析式为y=（x-t）²+2t-1．
联立

y=(x-t)2+2t-1 y=2x-1

，
化简得：x²-（2t+2）x+t²+2t=0，
解得：x₁=t，x₂=t+2，
即点P、点Q的横坐标相差2，
∴PQ=

2

cosθ

=

2

5 5

=2

5

．
△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：

i）若点P为直角顶点，如答图3①所示，
则PG=PQ=2

5

．
∴CG=

PG

sin∠OCE

=

PG

cosθ

=

2 5

5 5

=10，
∴OG=CG-OC=10-1=9，
∴G（0，9）；
ii）若点Q为直角顶点，如答图3②所示，
则QG=PQ=2

5

．
同理可得：G（0，9）；
iii）若点G为直角顶点，如答图3③所示，
此时PQ=2

5

，
则GP=GQ=

10

．
分别过点P、Q作y轴的垂线，垂足分别为点M、N．
易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，
∴GN=PM，GM=QN．
在Rt△QNG中，
由勾股定理得：GN²+QN²=GQ²，
即PM²+QN²=10 ①
∵点P、Q横坐标相差2，
∴NQ=PM+2，
代入①式得：PM²+（PM+2）²=10，
解得PM=1，
∴NQ=3．
直线y=2x-1，
当x=1时，y=1，
∴P（1，1），
即OM=1．
∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，
∴G（0，4）．
综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）．

点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，需要认真分析计算．第（3）问中，G、P、Q三点均为动点，使得解题难度增大，首先求出线段PQ的长度可以降低解题的难度．