Question

【题目】如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE=48cm2；③14＜t＜22时，y=110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t=14.5．其中正确结论的序号是（　　）

A. ①④⑤ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意，得到P、Q分别同时到达D、C可判断①②，分段讨论PQ位置后可以判断③，再由等腰三角形的分类讨论方法确定④，根据两个点的相对位置判断点P在DC上时，存在△BPQ与△BEA相似的可能性，分类讨论计算即可．

解：由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE=BC=10，ED=4

故①正确

则AE=10﹣4=6

t=10时，△BPQ的面积等于

∴AB=DC=8

故

故②错误

当14＜t＜22时，

故③正确；

分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，将两圆交点连接即为AB垂直平分线

则⊙A、⊙B及AB垂直平分线与点P运行路径的交点是P，满足△ABP是等腰三角形

此时，满足条件的点有4个，故④错误．

∵△BEA为直角三角形

∴只有点P在DC边上时，有△BPQ与△BEA相似

由已知，PQ=22﹣t

∴当或时，△BPQ与△BEA相似

分别将数值代入

或，

解得t=（舍去）或t=14.5

故⑤正确

故选：D．