Question

19．抛物线y=-x²+2x+n经过点M（-1，0），顶点为C．
（1）求点C的坐标；
（2）设直线y=2x与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．
①在抛物线的对称轴上是否存在点G．使∠AGC=∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
②点P在直线y=2x上，点Q在抛物线上，当以O，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把M的坐标代入抛物线的解析式即可求出n的值，再利用配方法求顶点C的坐标；
（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，设G（1，a），列方程组求出A、B两点的坐标，根据坐标表示线段的长，证明△APG∽△BQG，列式例式可求出点G的坐标；
（3）设P（m，2m），根据平行四边形的性质得P、Q两点的纵坐标相等，根据P的纵坐标表示出点Q的纵坐标，分三种情况讨论：①当四边形OMQP是平行四边形时，如图2；②当四边形OMPQ是平行四边形，如图3；③当OM是对角线时，如图4，分别表示出点Q的坐标后代入抛物线的解析式可得出点Q的坐标．

解答 解：（1）把M（-1，0）代入y=-x²+2x+n中得：
-1-2+n=0，
n=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴C（1，4）；
（2）如图1，存在点G，使∠AGC=∠BGC，
分别过A、B两点作对称轴x=1的垂线AP和BQ，垂足分别为P、Q，
设G（1，a），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴A（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∵∠AGC=∠BGC，∠APG=∠BQG=90°，
∴△APG∽△BQG，
∴$\frac{AP}{BQ}=\frac{PG}{QG}$，
∴$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{a+2\sqrt{3}}{a-2\sqrt{3}}$，
a=6，
∴G（1，6）；
（3）设P（m，2m）
①当四边形OMQP是平行四边形时，
如图2，则Q（m-1，2m），
∵点Q在抛物线上，
∴2m=-（m-1）²+2（m-1）+3，
解得：m=0或2，
∴Q₁（-1，0）（舍），Q₂（1，4），
②当四边形OMPQ是平行四边形，
如图3，则Q（m+1，2m），
∵点Q在抛物线上，
∴2m=-（m+1）²+2（m+1）+3，
解得：m=-1$±\sqrt{5}$，
∴Q₃（-$\sqrt{5}$，-2-2$\sqrt{5}$），Q₄（$\sqrt{5}$，-2+2$\sqrt{5}$），
③当OM是对角线时，如图4，
分别过P、Q作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
∵四边形MPOQ是平行四边形，
可得△PGM≌△QHO，
∴GM=OH=-m-1，QH=PG=-2m，
∴Q（-m-1，-2m），
∵点Q在抛物线上，
∴-2m=-（-m-1）²+2（-m-1）+3，
解得：m=0或-2，
∴Q₅（-1，0）（舍），Q₆（1，4），
综上所述，点Q的坐标是：（1，4）或（$\sqrt{5}$，-2-2$\sqrt{5}$）或（-$\sqrt{5}$，-2+2$\sqrt{5}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，利用待定系数法求二次函数的解析式，由配方法求顶点坐标；本题将函数与几何有机地结合在一起，构建相似三角形，利用坐标表示线段的长，要注意点的象限特点；同时还考查了平行四边形的性质，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，利用此结论列等式，求出点的坐标．