Question

6．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=2．
（1）填空△APD≌△AEB；
（2）正确结论的序号是①②；
①EB⊥ED； ②S_{△APD+△APB}=$\frac{3}{2}$；
（3）点B到直线AE的距离为1；
（4）正方形ABCD的面积为5．

Answer 1

分析 （1）首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
（2）①利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；
②由△APD≌△AEB，可知S_△APD+S_△APB=S_△AEB+S_△APB，然后利用已知条件计算即可判定；
（3）由（1）可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BM⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF=$\sqrt{2}$；
（4）根据BF=EF=1，AF=EF+AE=1+1=2，再利用勾股定理解答即可．

解答 解：（1）在△APD与△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠PAP=∠BAE}\\{AP=AE}\end{array}\right.$
∴△APD≌△AEB（SAS），
故答案为：△AEB；
（2）①因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，∠DOA=∠BOE，
∵∠ADP+∠DOA=90°，
∴∠ABE+∠BOE=90°，
∴∠DEB=90°，
∴AB⊥DE；
所以①正确；
②由△APD≌△AEB，
∵AE=AP=1，
∴PE=$\sqrt{2}$，在Rt△PBE中，BE=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$
∴PD=BE=$\sqrt{2}$，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE=$\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{3}{2}$，所以②正确；
故答案为：①②；
（3）由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，如图1：

在△AEP中，由勾股定理得PE=$\sqrt{2}$，
在△BEP中，PB=2，PE=$\sqrt{2}$，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF=1，
∴点B到直线AE的距离为1，
故答案为：1；
（4）∵BF=EF=1，AF=EF+AE=1+1=2
在Rt△ABF中，S_{正方形ABCD}=AB²=2²+1=5．

点评 此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．