Question

【题目】如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．

（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB∥CD，AD∥BC．

∵PF∥AB，

∴PF∥CD，

∴∠CPF=∠PCH．

∵PH∥AD，

∴PH∥BC，

∴∠PCF=∠CPH．

在△PHC和△CFP中，

，

∴△PHC≌△CFP（ASA）．

（2）

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=∠B=90°．

又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，

∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．

∵EF∥AB，

∴∠CPF=∠CAB．

在Rt△AGP中，∠AGP=90°，

PG=AGtan∠CAB．

在Rt△CFP中，∠CFP=90°，

CF=PFtan∠CPF．

S矩形DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtan∠CPF；

S矩形PGBF=PGPF=AGPFtan∠CAB=EPPFtan∠CAB．

∵tan∠CPF=tan∠CAB，

∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．

【解析】（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）通过平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理来证明四边形为矩形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据结合矩形的性质及全等三角形的判定定理来解决问题是关键．