【题目】如图,矩形ABCD中,点E为BC上一点,F为DE的中点,且∠BFC=90°.
(1)当E为BC中点时,求证:△BCF≌△DEC;
(2)当BE=2EC时,求 的值;
(3)设CE=1,BE=n,作点C关于DE的对称点C′,连结FC′,AF,若点C′到AF的距离是 ,求n的值.
【答案】
(1)
证明;∵在矩形ABCD中,∠DCE=90°,F是斜边DE的中点,
∴CF= DE=EF,
∴∠FEC=∠FCE,
∵∠BFC=90°,E为BC中点,
∴EF=EC,
∴CF=CE,
在△BCF和△DEC中, ,
∴△BCF≌△DEC(ASA)
(2)
解:设CE=a,由BE=2CE,得:BE=2a,BC=3a,
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线,
∴CF= DE,
∵∠FEC=∠FCE,∠BFC=∠DCE=90°,
∴△BCF∽△DEC,
∴ ,
即: = ,
解得:ED2=6a2,
由勾股定理得:DC= = = a,
∴ = =
(3)
解:过C′作C′H⊥AF于点H,连接CC′交EF于M,如图所示:
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线,
∴FC=FE=FD,
∴∠FEC=∠FCE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADF=∠CEF,
∴∠ADF=∠BCF,
在△ADF和△BCF中, ,
∴△ADF≌△BCF(SAS),
∴∠AFD=∠BFC=90°,
∵CH⊥AF,C′C⊥EF,∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°,
∴四边形C′MFH是矩形,
∴FM=C′H= ,
设EM=x,则FC=FE=x+ ,
在Rt△EMC和Rt△FMC中,
由勾股定理得:CE2﹣EM2=CF2﹣FM2,
∴12﹣x2=(x+ )2﹣( )2,
解得:x= ,或x=﹣ (舍去),
∴EM= ,FC=FE= + ;
由(2)得: ,
把CE=1,BE=n代入计算得:CF= ,
∴ = +
解得:n=4
【解析】本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,难度较大,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.
【考点精析】利用直角三角形斜边上的中线和平行四边形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积.
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【题目】将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象.若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0<x<3,则b的取值范围为 .
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【题目】如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为( )
A.
B.
C.3
D.4
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【题目】如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为( )
A.50°
B.51°
C.51.5°
D.52.5°
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【题目】根据直角三角形的判定的知识解决下列问题
(1)如图①所示,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连接PQ.若PA2+PB2=PC2,证明∠PQC=90°;
(2)如图②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ.当PA、PB、PC满足什么条件时,∠PQC=90°?请说明.
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【题目】如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°36′,在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上一点D反射,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是( )
A.75°36′
B.75°12′
C.74°36′
D.74°12′
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【题目】已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)若⊙O的直径为18,cosB= ,求DE的长.
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