Question

4．如图，点A、B、C三点在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接DE，点F、G、H、M分别为DE、EC、AC、AD的中点．
求证：四边形MHGF是菱形．

Answer 1

分析 连接AE、CD．利用SAS证得△ABE≌△DBC，则AE=CD．然后由三角形中位线定理得到FG=GH=HM=MF，即四边形FGHM是菱形．

解答 证明：连接AE、CD．
∵△ADB、△BCE为等边三角形
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC．
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD．
∵点F、G、H、M分别为DE、EC、AC、AD的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$CD，GH=$\frac{1}{2}$AE，HM=$\frac{1}{2}$CD，MF=$\frac{1}{2}$AE，
∴FG=GH=HM=MF，
∴四边形FGHM是菱形．

点评 本题考查了中点四边形，菱形的判定．注意三角形中位线定理在解答中的应用．