Question

12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=$\sqrt{10}$，求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，如图，在Rt△ACE中，利用正切的定义得到tan∠ACE=$\frac{AH}{CH}$=3，则设CH=x，AH=3x，根据勾股定理得AC=$\sqrt{10}$x，利用$\sqrt{10}$x=$\sqrt{10}$，解得x=1，再在Rt△ABH中，利用∠B=45°得到BH=AH=3，然后根据三角形面积公式求解；
（2）作DF⊥BC于F，如图，由于CD是AB边上的中线，根据三角形面积公式得到S_△ACD=S_△ABC=6，再证明DF为△AB的中位线，则DF=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，易得BF=DF=$\frac{3}{2}$，接着根据勾股定理计算出CD=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，然后利用锐角三角函数得出sin∠ACD的值．

解答 解：如图，

（1）作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACB=3，AC=$\sqrt{10}$，
设CH=x，AH=3x，
根据勾股定理得AC=$\sqrt{10}$x，
∴CH=1，AH=3，
在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴BH=AH=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）作DF⊥BC于F，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×DE=3，
∴DE=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，
∵AH⊥BC，DF⊥BC，CD是AB边上的中线，
∴DF=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{3}{2}$，
∴BF=DF=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{D{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
∴在Rt△CDE中，sin∠ACD=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$．

点评 此题考查勾股定理的运用，三角函数的意义，三角形的面积计算，以及三角形的中位线定理，正确作出两条垂线是解决问题的关键．