Question

14．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．
（1）求证：△ADG≌△CDG．
（2）求证：CE=3，EF=4，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠F=∠FCD，
在△ADG与△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠DCG，
∴AG=CG；

（2）∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠F，
∵∠AGE=∠AGE，
∴△AGE∽△FGA，
∴$\frac{AG}{FG}$=$\frac{GE}{AG}$，
∴AG²=GE•GF，设AG=CG=x，
则有x²=（3-x）（7-x），
解得x=2.1，
∴AG=2.1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．