Question

5．如图，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接DE，下列结论：①∠AED=∠CED；②△AED为等腰三角形；③EH=CE；④图中有3个等腰三角形．结论正确的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先证明△ABE和△ADH等腰直角三角形，得出AD=AE，AB=AH=DH=DC，得出∠ADE=∠AED，即可得出①②正确；证出∠EDH=∠EDC，由角平分线的性质得出③正确；图中有3个等腰三角形，得出④正确即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=∠DAH=45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，AD=$\sqrt{2}$AH，
∵AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AH，
∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠CED，故①②正确；
∵DH⊥AE，DC⊥CE，∠AED=∠CED，
∴∠EDH=∠EDC，
∴EH=CE，故③正确；
∵△ABE和△ADH是等腰直角三角形，△AED为等腰三角形，
∴图中有3个等腰三角形，故④正确；
故选：D．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．