Question

17．如图，A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，0），点C是双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的上，将AB沿BC方向从B平移到C，点A的对应点为D，恰有AB=$\frac{1}{2}$BC，且点D也在双曲线上，则k的值等于12．

Answer 1

分析 由A（0，2），B（1，0），计算出AB=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，由AB=$\frac{1}{2}$BC，得出BC=2AB=2$\sqrt{5}$．设D（x，y），根据点D在双曲线上得到xy=k．根据平移的性质得出C（x+1，y-2），那么（x+1）（y-2）=k．根据题意，列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-2）^{2}=20①}\\{xy=（x+1）（y-2）②}\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：∵A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，0），
∴AB=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2AB=2$\sqrt{5}$．
设D（x，y），则xy=k．
∵将AB沿BC方向从B平移到C，点A的对应点为D，
∴C（x+1，y-2），则（x+1）（y-2）=k．
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-2）^{2}=20①}\\{xy=（x+1）（y-2）②}\end{array}\right.$，
由②得，y=2x+2③，
把③代入①，解得x=±2（负值舍去），
∴x=2，此时y=6，
∴k=2×6=12．
故答案为12．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，坐标与图形变化-平移等知识，设D（x，y），根据平移的性质得出C点坐标为（x+1，y-2），是解题的关键．