Question

12．如图，AM∥BN，∠MAB和∠NBA的平分线交于E点．求：
（1）∠AEB．
（2）过E点作直线，交AM于点D，交BN于点C，观察线段DE，CE的数量关系，有何发现？证明你的结论．
（3）试说明无论DC的两端在AM，BN上如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值就不变．

Answer 1

分析 （1）应先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出∠BAE与∠ABE的度数之和，再根据三角形内角和定理，即可求出∠AEB的度数；
（2）先判定△BAF为等腰三角形，由“三线合一”可得AE=EF，进而根据AAS判定△ADE≌△FCE，即可得出DE=CE；
（3）根据△ABF为等腰三角形，即可得出AB=BF=BC+CF，再根据△ADE≌△FCE，可得AD=CF，据此可得AD+BC的值始终为AB长．

解答 解：（1）∵AE、BE分别平分∠NBA、∠MAB，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
又∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠MAB+∠NBA）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△ABE中，∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=90°；

（2）线段DE，CE的数量关系为：DE=CF．
证明：如图，延长AE交BN于点F．
∵AM∥BN，
∴∠DAE=∠AFB，
又∠DAE=∠BAE，
∴∠AFB=∠BAF，
∴BF=BA，即△BAF为等腰三角形，
由（1）可得，BE⊥AF，即BE为等腰△BAF底边AF上的高，
∴由“三线合一”可得AE=EF，即E为AF的中点，
又∠AED=∠FEC，∠DAE=∠CFE，
∴△ADE≌△FCE，
∴DE=CE；

（3）由（2）可得，△ABF为等腰三角形，
∴AB=BF=BC+CF，
又∵△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，
∴AB=BC+AD，即AD+BC的值始终为AB长．

点评 本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．