Question

6．如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，且∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当tan∠AEC=$\frac{3}{4}$，BC=8时，求OD的长．

Answer 1

分析 （1）由∠AEC=∠ODB、∠AEC=∠ABC知∠ABC=∠ODB，根据∠DBC+∠ODB=90°得∠DBC+∠ABC=90°，即可得证；
（2）由OD⊥BC、BC=8知FB=FC=4，根据tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF=$\frac{3}{4}$，求得DF=$\frac{16}{3}$，OF=3，据此可得答案．

解答 解：（1）直线BD和⊙O相切，
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB=90°，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠DBO=90°，
∴直线BD和⊙O相切．

（2）∵OD⊥BC，BC=8，
∴FB=FC=4，
∵tan∠AEC=tan∠ODB=tan∠OBF=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{OF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴DF=$\frac{16}{3}$，OF=3，
∴OD=OF+DF=3+$\frac{16}{3}$=$\frac{25}{3}$．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、正切函数，熟练掌握切线的判定、圆周角定理及正切函数的定义是解题的关键．