Question

8．如图，弦AB，CD交EF于M，N，且ME=NF，∠AMN=∠CNM，求证：AB=CD．

Answer 1

分析 作OP⊥EF于P，OQ⊥AB于Q，OR⊥CD于R，连结OM、ON，如图，根据垂径定理得PE=PF，则由ME=NF得到PM=PN，则可根据“SAS”判定△OPM≌△OPN，得到OM=ON，则根据等腰三角形的性质得∠OMN=∠ONM，由于∠AMN=∠CNM，所以∠OMQ=∠ONR，于是可根据“AAS”可判断△OMQ≌△ONR，得到OQ=OR，根据在同圆或等圆中，相等的弦心距所对应的弦相等得到AB=CD．

解答 证明：作OP⊥EF于P，OQ⊥AB于Q，OR⊥CD于R，连结OM、ON，如图，则PE=PF，
∵ME=NF，
∴PM=PN，
在△OPM和△OPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{∠OPM=∠OPN}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△OPM≌△OPN，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠OMQ=∠ONR，
在△OMQ和△ONR中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OQM=∠ORN}\\{∠OMQ=∠ONR}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMQ≌△ONR，
∴OQ=OR，
∴AB=CD．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质．