Question

【题目】如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E. F.

(1)求证：△OEF是等腰直角三角形。

(2)若AE=4，CF=3，求EF的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5.

【解析】

（1）根据正方形的性质可得∠ABO=∠ACF=45°，OB=OC，∠BOC=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOB=∠FOC，然后利用“角边角”证明△BEO和△CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，从而得证；

（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CF，再根据正方形的四条边都相等求出AE=BF，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABO=∠ACF=45,OB=OC,∠BOC=90，

∴∠FOC+∠BOF=90，

又∵OE⊥OF，

∴∠EOF=90，

∴∠EOB+∠BOF=90，

∴∠EOB=∠FOC，

在△BEO和△CFO中,

，

∴△BEO≌△CFO(ASA)，

∴OE=OF，

又∵∠EOF=90，

∴△DEF是等腰直角三角形；

(2)解∵△BEO≌△CFO(已证)，

∴BE=CF=3，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∴ABBE=BCCF，

即AE=BF=4，

在Rt△BEF中,EF= = =5.