Question

6．如图，已知C是以AB为直径的圆O上一点，CF⊥AB于点F，直线AC与过点B的切线相交于点D，E为BD的中点，连接AE交CF于点H，连接CE．
（1）求证：点H是CF中点；
（2）求证：CH是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，BE=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得AB⊥BD，而CF⊥AB，所以CF∥BD，根据相似的判定方法得△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，利用相似的性质得$\frac{FH}{BE}$=$\frac{AH}{AE}$，$\frac{CH}{DE}$=$\frac{AH}{AE}$，所以$\frac{FH}{BE}$=$\frac{CH}{DE}$，而BE=DE，则FH=CH；
（2）根据圆周角定理由AB为⊙的直径得∠ACB=90°，则∠BCD=90°，而CE为BD边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE=DE，则∠2=∠3，而∠1=∠4，所以有∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，则OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CE是⊙O的切线；
（3）先计算出BD=2BE=6，在Rt△ABD中，根据勾股定理计算出AD=10，再证明Rt△ABC∽Rt△ADB，利用相似比计算出AC=$\frac{18}{5}$，然后证明△ACF∽△ADB，利用相似比可计算出CF=$\frac{72}{25}$．

解答 （1）证明：∵BD为⊙的切线，
∴AB⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△AHC∽△AED，
∴$\frac{FH}{BE}$=$\frac{AH}{AE}$，$\frac{CH}{DE}$=$\frac{AH}{AE}$，
∴$\frac{FH}{BE}$=$\frac{CH}{DE}$，
而E为BD中点，
∴BE=DE，
∴FH=CH，
即点H是CF中点；
（2）证明：∵AB为⊙的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
而CE为BD边上的中线，
∴CE=BE=DE，
∴∠2=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠OCE=∠OBE=90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：∵BE=4，
∴BD=2BE=8，
在Rt△ABD中，AB=6，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=10，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$，即$\frac{AC}{6}$=$\frac{6}{10}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$，
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{CF}{8}$=$\frac{\frac{18}{5}}{10}$，
∴CF=$\frac{72}{25}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理和勾股定理．