Question

已知直线l：y=-

4

3

x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆O₁与坐标轴及直线l分别相切于D，E，C，求证：OC⊥CD．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：作辅助线连接O₁D，O₁E，由y=-

4

3

x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，可求出OA，OB的长，利用勾股定理可求出AB的长，由切线的性质可得出AD=AC，BC=BE，列出关于AD的方程求出AD的长，得出OA=AD=AC，利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得出OC⊥CD．

解答：解：如图，连接O₁D，O₁E，
∵y=-

4

3

x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴点A（3，0），点B（0，4），即OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5，
∵圆O₁与坐标轴及直线l分别相切于D，E，C，
∴AD=AC，BC=BE，
∴3+AD=4+（5-AD），解得AD=3，
∴OA=AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，∠AOC=∠ACO，
∵∠ADC+∠ACD+∠AOC+∠ACO=180°，
∴∠ACD+∠ACO=90°，
∴OC⊥CD．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，求出AD=AO．