Question

如图，抛物线y=ax²-2ax-3a交y轴于A点，交x轴于B，C两点（B在C右边），顶点为D．
（1）求B点的坐标并直接写出A、D的坐标（用含a的式子表示）；
（2）若以A、B、D为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当OA=OB时，抛物线上是否存在点M，使∠DBO=∠MDB？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-3a，
∴当x=0时，y=-3a，
∴与y轴交点A的坐标为（0，-3a）．
∵抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于B，C两点（B在C右边），
∴a≠0，
令y=0，解得x=3或-1，
∴B（3，0），C（-1，0），
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴顶点D的坐标为（1，-4a）；

（2）由（1）知A（0，-3a），D（1，-4a），
∴AD²=1+（-3a+4a）²=1+a²，
BD²=（3-1）²+（4a）²=4+16a²，
AB²=3²+（3a）²=9+9a²．
若以A、B、D为顶点的三角形为直角三角形，则分三种情况讨论：
①若∠ADB=90°，则AD²+BD²=AB²，
∴1+a²+4+16a²=9+9a²，
∴a=±；
②若∠DAB=90°，则AD²+AB²=BD²，
∴1+a²+9+9a²=4+16a²，
∴a=±1；
③若∠ABD=90°，则BD²+AB²=AD²，
∴4+16a²+9+9a²=1+a²，
a无解．
综上，若以A，B，D为顶点的三角形为直角三角形，则a₁=，a₂=-，a₃=1，a₄=-1；

（3）在抛物线上存在点M，能够使∠DBO=∠MDB．
如图，∵OA=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1．
∴A（0，3），D（1，4），B（3，0）．
若点M在x≥1的抛物线上时，∵∠DBO=∠MDB，∴MD∥OB，又点M是抛物线上的点，∴点D与点M重合，不符合题意．
∴点M在x＜1的抛物线上．
如图，延长DM交x轴于点F，连接BD．设F（x，0）．
∵∠DBO=∠MDB，
∴FD=FB．
∴（1-x）²+4²=（3-x）²，解得x=-2．则F（-2，0）．
易求直线FD的方程为：y=x+．
则，
解得或（舍去），
即M（-，）．
分析：（1）令x=0求得点A的坐标，令y=0来求点B、C的坐标；把抛物线方程转化为顶点式，直接写出点D的坐标；
（2）根据点A、B、D的坐标，利用两点间的距离公式易求AD²=1+a²，BD²=4+16a²，AB²=9+9a²．然后分别以AD、BD、AB为斜边来求相应的a的值；
（3）由OA=OB易求D（1，4），B（3，0）．若点M在x≥1的抛物线上时，因为∠DBO=∠MDB，所以MD∥OB，又点M是抛物线上的点，所以点D与点M重合，不符合题意．故点M在x＜1的抛物线上．如图，延长DM交x轴于点F，连接BD．设F（x，0）．根据两点间的距离公式可以求得点F的坐标，根据点F、D的坐标易求直线FD的方程，由该方程结合抛物线方程列出方程组，即可求得点M的坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．