Question

20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，三角形内有一点O，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且$\frac{AB}{OF}$+$\frac{AC}{OE}$+$\frac{BC}{OD}$=12，求：OD、OE、OF的长．

Answer 1

分析 连接OB，OA，根据勾股定理得到AC=3，根据三角形的面积公式得到$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AB•OF+$\frac{1}{2}$BC•OD+$\frac{1}{2}$AC•OE=12，整理得4OF+5OD+3OE=12，由已知条件得到$\frac{4}{OF}$+$\frac{3}{OE}$+$\frac{5}{OD}$=12，于是得到只有4OF=$\frac{4}{OF}$，5OD=$\frac{5}{OD}$，3OE=$\frac{3}{OE}$时，上述等式成立，于是得到结论．

解答 解：连接OB，OA，
∵∠BAC=90°，AB=4，BC=5，
∴AC=3，
∵OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∴S_△ABC=S_△ABO+S_△BCO+S_△ACO，
∴$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AB•OF+$\frac{1}{2}$BC•OD+$\frac{1}{2}$AC•OE=12，
∴4OF+5OD+3OE=12，
∵$\frac{AB}{OF}$+$\frac{AC}{OE}$+$\frac{BC}{OD}$=12，
∴$\frac{4}{OF}$+$\frac{3}{OE}$+$\frac{5}{OD}$=12，
∴只有4OF=$\frac{4}{OF}$，5OD=$\frac{5}{OD}$，3OE=$\frac{3}{OE}$时，上述等式成立，
解得：OF=1，OE=1，OD=1．

点评 本题考查了三角形的面积公式，整式的化简，能得出4OF=$\frac{4}{OF}$，5OD=$\frac{5}{OD}$，3OE=$\frac{3}{OE}$是解题的关键．