Question

4．如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=2x+4上运动，当线段AB最短时，AB的长度为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 当线段AB最短时，AB与直线y=2x+4垂直，设直线与坐标轴的交点为C、D，作AB′⊥CD，根据解析式即可求得C、D的坐标，然后根据勾股定理求得CD，然后根据三角形相似即可求得AB的最短长度．

解答 解：由直线y=2x+4可知，直线与坐标轴的交点为C（-2，0），D（0，4），
∴OC=2，OD=4，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵点A的坐标为（1，0），
∴AC=2+1=3，
∵∠ACB′=∠DCO，∠ABC=∠DOC=90°，
∴△AB′C∽△DOC，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{AB′}{4}$=$\frac{3}{2\sqrt{5}}$，
∴AB′=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．