Question

先阅读，再填空解答
一元二次方程ax²+bx+c=o（a≠0）的求根公式是x=

-b± b2-4ac

2a

（b²-4ac≥0），显然这个一元二次方程的根的情况由b²-4ac来决定，我们把b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，用符号“△”来表示．
（1）当△＞0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个

 

根
当△=0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个

 

根
当△＜0时，一元二次方程ax²+bx+c=0

 

根

（2）已知关于x的方程，2x²-（4k+1）x+2k²-1=0，
其中△=[-（4k+1）]²-4×2（2k²-1）=16k²+8k+1-16k²+8=8k+9
①当8k+9＞0时即k＞-

9

8

时，原方程有两个不相等的实数根
②当8k+9=0时，即k=-

9

8

时，原方程有两个相等的实数根
③当8k+9＜0时，即k＜-

9

8

时，原方程没有实数根
请根据阅读材料解答下面问题
求证：关于x的方程x²-（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析：（1）根据负数没有平方根，正数有两个平方根，0的平方根是0，进行分析填空；
（2）根据（1）的结论，显然只需证明△＞0即可．

解答：（1）答案分别为：不相等的实数；相等的实数；没有实数；

（2）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4（k-1）=（2k+1）²-4k+4=4k²+4k+1-4k+4=4k²+5，
无论k为任何实数，4k²≥0，
∴4k²+5＞0，
∴关于x的方程x²-（2k+1）+k-1=0，有两个不相等的实数根．

点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式，能够由已知的一元二次方程判别方程的根的情况．