Question

如图，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线y=

k

x

(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）另一条直线y=2x交双曲线y=

k

x

(k＞0)于P，Q两点（P点在第一象限），若由点P为顶点组成的四边形AQBP，求四边形AQBP的面积．

Answer 1

分析：（1）把x=4代入y=

1

2

x可确定A点坐标，把A点坐标代入双曲线y=

k

x

(k＞0)即可得到k的值；
（2）过A作AF⊥x轴于F，过C作CD⊥x轴于E，先把y=8代入反比例函数的解析式确定C点坐标，然后利用S_△AOC=S_梯形AFOEC-S_△COE-S_△OAF，和三角形与梯形的面积公式计算即可；
（3）把y=2x与反比例函数的解析式组成方程组，解方程组确定P点坐标为（2，4），Q点坐标为（-2，-4），得到OP=OQ，易证得四边形AQBP为平行四边形；同（2）计算方法一样得S_△OAP，然后利用四边形AQBP的面积=4S_△OAP即可得到答案．

解答：解：（1）把x=4代入y=

1

2

x，得y=2，
∴A点坐标为（4，2），
把A（4，2）代入y=

k

x

，
∴k=4×2=8；

（2）如图过A作AF⊥x轴于F，过C作CE⊥y轴于E，CG⊥x轴与G，
反比例函数的解析式为y=

8

x

，∵y=8，则x=1，
∴C点坐标为（1，8），
∴S_△AOC=S_AFOEC-S_△COE-S_△OAF，
=8+

1

2

（2+8）×3-

1

2

×8×1-

1

2

×4×2，
=15；

（3）如图，过A作AE⊥x轴与E，过P作PD⊥x轴于D，
解方程组

y=2x y= 8 x

得

x=2 y=4

或

x=-2 y=-4

，
∴P点坐标为（2，4），Q点坐标为（-2，-4），
∴P与Q关于原点中心对称，
∴OP=OQ，同理可得OA=OB，
∴四边形AQBP为平行四边形，
同（2）计算方法一样得S_△OAP=S_梯形PDEA=

1

2

×（2+4）×2=6，
∴四边形AQBP的面积=4S_△OAP=24．

点评：本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了两函数图象交点的求法以及三角形与梯形的面积公式．