Question

19．如图，菱形ABCD中，AC、BD交于O，AC=8m，BD=6m，动点M从A出发沿AC方向以2m/s匀速直线动动到C，动点N从B出发沿BD方向以1m/s匀速直线动动到D，若M、N同进出发，则出发后$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$s时，△MON的面积为$\frac{1}{4}$m²．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，设M、N同时出发ts时，△MON的面积为$\frac{1}{4}$m²，分类讨论：当0≤t≤2时，如图1，OM=4-2t，ON=3-t，由三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（4-2t）•（3-t）=$\frac{1}{4}$；当2＜t≤3时，如图2，OM=2t-4，ON=3-t，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（3-t）=$\frac{1}{4}$；当3＜t≤4时，如图3，OM=2t-4，ON=t-3，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（t-3）=$\frac{1}{4}$，然后分别解一元二次方程求出t的值即可．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=4，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
设M、N同时出发ts时，△MON的面积为$\frac{1}{4}$m²，
当点M在OA上，点N在OB上，即0≤t≤2时，如图1，AM=2t，BN=t，则OM=4-2t，ON=3-t，
∵△MON的面积为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•（4-2t）•（3-t）=$\frac{1}{4}$，
整理得4t²-20t+23=0，解得t₁=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$，t₂=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$（舍去），
当点M在OC上，点N在OB上，即2＜t≤3时，如图2，AM=2t，BN=t，则OM=2t-4，ON=3-t，
∵△MON的面积为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（3-t）=$\frac{1}{4}$，
整理得4t²-20t+25=0，解得t₁=t₂=$\frac{5}{2}$；
当点M在OC上，点N在OD上，即3＜t≤4时，如图3，AM=2t，BN=t，则OM=2t-4，ON=t-3，
∵△MON的面积为$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•（2t-4）•（t-3）=$\frac{1}{4}$，
整理得4t²-20t+25=0，解得t₁=$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$，
综上所述，M、N同时出发，则出发后$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$时，△MON的面积为$\frac{1}{4}$m²．
故答案为$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$s或$\frac{5}{2}$s或$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了解一元二次方程和分类讨论思想的应用．