Question

15．如图1，在平面直角坐标系中，己知点A（0，4$\sqrt{3}$），点B在x正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M，N作等边△PMN，
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，①t=2时，S的值；②请求出当0≤t≤1时S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先在直角三角形AOB中，根据∠ABO的度数和OA的长，求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式．
（2）求等边三角形的边长就是求出PM的长，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的长，然后根据∠ABO的度数，求出PM的长．
当M、O重合时，可在直角三角形AOP中，根据OA的长求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当N在D点左侧且E在PM右侧或在PM上时，即当0≤t≤1时，重合部分是直角梯形EGNO．
②当N在D点左侧且E在PM左侧时，即当1＜t＜2时，此时重复部分为五边形，（如图3）其面积可用△PMN的面积-△PIG的面积-△OMF的面积来求得．（也可用梯形ONGE的面积-三角形FEI的面积来求）．
③当N、D重合时，即t=2时，此时M、O也重合，此时重合部分为等腰梯形．
根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与t的函数关系式，进而可根据函数的性质和各自的自变量的取值范围求出对应的S的最大值．

解答 解：（1）由OA=4 $\sqrt{3}$，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，
把A和B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{12k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4 $\sqrt{3}$．

（2）如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8 $\sqrt{3}$，
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴BP=AB-AP=8 $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=$\frac{PM}{PB}$，
∴PM=（8 $\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=8-t．

可求得AQ=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，PS=QO=4 $\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴PM=（4 $\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8-t，
当点M与点O重合时，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4 $\sqrt{3}$=2 $\sqrt{3}$t，
∴t=2．

（3）①如图2中，当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，

设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部
分为等腰梯形IMNG，见图4．S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=8 $\sqrt{3}$，
当t=2时，S=8 $\sqrt{3}$．

②如图3中，当0≤t≤1时，．

设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，GH=2 $\sqrt{3}$，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=$\frac{1}{2}$（2+t+4+t）×2 $\sqrt{3}$=2 $\sqrt{3}$t+6 $\sqrt{3}$．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，Smax=8 $\sqrt{3}$．

点评 本题考查一次函数解析式的确定、图形的面积求法、三角形相似及二次函数的综合应用等知识，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．