Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：对于抛物线y=﹣x2+2x+3，

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

则A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1

（2）

解：①设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分别代入得： ，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

当x=m时，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3），

令y=﹣x2+2x+3中x=1，得到y=4，

∴D（1，4），

当x=m时，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3），

∴线段DE=4﹣2=2，

∵0＜m＜3，

∴yF＞yP，

∴线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

连接DF，由PF∥DE，得到当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），

则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；

②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF= PFBM+ PFOM= PF（BM+OM）= PFOB，

∴S= ×3（﹣m2+3m）=﹣ m2+ m（0＜m＜3），

则当m= 时，S取得最大值．

【解析】（1）对于抛物线解析式，令y=0求出x的值，确定出A与B坐标，令x=0求出y的值确定出C的做准备，进而求出对称轴即可；（2）①根据B与C坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，进而表示出E与P坐标，根据抛物线解析式确定出D与F坐标，表示出PF，利用平行四边形的判定方法确定出m的值即可；②连接BF，设直线PF与x轴交于点M，求出OB的长，三角形BCF面积等于三角形BFP面积加上三角形CFP面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出S取得最大值时m的值即可．此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
【考点精析】利用确定一次函数的表达式和二次函数的图象对题目进行判断即可得到答案，需要熟知确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．