【题目】如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形,BE和CD相交于点O.
(1)在图1中,求证:△ABE≌△ADC.
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120°,请你探索在图2中,∠BOC的度数,并说明理由或写出证明过程.
(3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图3中∠BOC=(填写度数).
(4)由此推广到一般情形(如图4),分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形,BE和CD仍相交于点O,猜想得∠BOC的度数为(用含n的式子表示).
【答案】
(1)
证明:如图1,∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
∴△ABE≌△ADC
(2)
证明:如图2,∠BOC=90°,理由是:
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
∴∠BAE=∠DAC,
∴△ADC≌△ABE,
∴∠BEA=∠DCA,
∵∠EAC=90°,
∴∠AMC+∠DCA=90°,
∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA,
∴∠BOC=90°
(3)72°
(4)
【解析】证明:(3)如图3,同理得:△ADC≌△ABE,
∴∠BEM=∠DCA,
∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC,
∵正五边形ACIGE,
∴∠EAC=180°﹣ =108°,
∴∠DCA+∠AMC=72°,
∴∠BOC=72°;
故答案为:72°;
4)如图4,∠BOC的度数为 ,理由是:
同理得:△ADC≌△ABE,
∴∠BEA=∠DCA,
∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC,
∵正n边形AC…E,
∴∠EAC=180°﹣ ,
∴∠DCA+∠AMC=180°﹣(180﹣ )°,
∴∠BOC= .
(1)根据等边三角形证明AB=AD,AC=AE,再利用等式性质得∠DAC=∠BAE,根据SAS得出△ABE≌△ADC;(2)根据正方形性质证明△ABE≌△ADC,得∠BEA=∠DCA,再由正方形ACEG的内角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°;(3)根据正五边形的性质证明:△ADC≌△ABE,再计算五边形每一个内角的度数为108°,由三角形外角定理求出∠BOC=72°;(4)根据正n边形的性质证明:△ADC≌△ABE,再计算n边形每一个内角的度数为180°﹣ ,由三角形外角定理求出∠BOC= .本题是四边形的综合题,考查了全等三角形、等边三角形、正四边形等图形的性质,关键是利用正n边形各边相等证明两三角形全等,运用了类比的方法,同时还要熟练掌握正n边形每一个内角的求法:可以利用外角和求,也可以利用内角和求;根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和列式并综合对顶角相等分别得出结论.
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【题目】济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计, ≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )
A.47m
B.51m
C.53m
D.54m
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【题目】如图1(注:与图2完全相同),二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积(请在图1中探索);
(3)若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ所在的直线翻折,点A恰好落在抛物线上E点处,请直接判定此时四边形APEQ的形状,并求出E点坐标(请在图2中探索).
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【题目】有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中有2个完全相同的小球,分别标有数字0个﹣2,;乙袋中有3个完全相同的小球,分别标有数字﹣2,0和1,小明从甲袋中随机取出1个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机取出1个小球,记录标有的数字为y,这样确定了点Q的坐标(x,y)
(1)写出先Q所有可能的坐标;
(2)求点Q在x轴上的概率.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交的于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴;
(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点(P不与C,B两点重合),过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形.
②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系式;当m为何值时,S有最大值.
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【题目】某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法.为提前了解学生的选修情况,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).对调查结果进行了整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有人,在扇形统计图中,m的值是;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)在被调查的学生中,选修书法的有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
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