【题目】如图1(注:与图2完全相同),二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积(请在图1中探索);
(3)若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ所在的直线翻折,点A恰好落在抛物线上E点处,请直接判定此时四边形APEQ的形状,并求出E点坐标(请在图2中探索).
【答案】
(1)
解:∵二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),
∴ ,
解得: ,
∴y= x2﹣ x﹣4
(2)
解:过点D作DM⊥y轴于点M,
∵y= x2﹣ x﹣4= (x﹣1)2﹣ ,
∴点D(1,﹣ )、点C(0,﹣4),
则S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC
= ×(1+3)× ﹣ ×( ﹣4)×1﹣ ×3×4
=4;
(3)
解:四边形APEQ为菱形,E点坐标为(﹣ ,﹣ ).理由如下
如图2,E点关于PQ与A点对称,过点Q作,QF⊥AP于F,
∵AP=AQ=t,AP=EP,AQ=EQ
∴AP=AQ=QE=EP,
∴四边形AQEP为菱形,
∵FQ∥OC,
∴ = = ,
∴ = =
∴AF= t,FQ= t
∴Q(3﹣ t,﹣ t),
∵EQ=AP=t,
∴E(3﹣ t﹣t,﹣ t),
∵E在二次函数y= x2﹣ x﹣4上,
∴﹣ t= (3﹣ t)2﹣ (3﹣ t)﹣4,
∴t= ,或t=0(与A重合,舍去),
∴E(﹣ ,﹣ )
【解析】(1)将A,B点坐标代入函数y= x2+bx+c中,求得b、c,进而可求解析式;(2)由解析式先求得点D、C坐标,再根据S△ACD=S梯形AOMD﹣S△CDM﹣S△AOC , 列式计算即可;(3)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又由A、E对称,则AP=EP,AQ=EQ,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标,又E在E函数上,所以代入即可求t,进而E可表示.本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识,总体来说题意复杂但解答内容都很基础,熟练地运用数形结合是解决问题的关键.
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【题目】(1)观察图形:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
①写出图1中所有的全等三角形_________________;
②线段AF与线段CE的数量关系是_________________;
(2)问题探究:
如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
求证:AE=2CD.
(3)拓展延伸:
如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC=∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.
求证:DF=2CE.
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【题目】△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件:①∠A=∠B-∠C;②∠A:∠B:∠C=3:4:5;③a2=(b+c)(b-c);④a:b:c=5:12:13,其中能判断△ABC是直角三角形的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形,BE和CD相交于点O.
(1)在图1中,求证:△ABE≌△ADC.
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120°,请你探索在图2中,∠BOC的度数,并说明理由或写出证明过程.
(3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图3中∠BOC=(填写度数).
(4)由此推广到一般情形(如图4),分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形,BE和CD仍相交于点O,猜想得∠BOC的度数为(用含n的式子表示).
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【题目】为了解我市的空气质量情况,某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).
请你根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)计算被抽取的天数;
(2)请补全条形统计图,并求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数;
(3)请估计该市这一年(365天)达到“优”和“良”的总天数.
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【题目】如图,某日,正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情,相关部门接到求救信号后,立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援,当飞机到达海面3000m的高空C处时,测得A处渔政船的俯角为45°,测得B处发生险情渔船的俯角为30°,此时渔政船和渔船的距离AB是( )
A.3000 m
B.3000( +1)m
C.3000( -1)m
D.1500 m
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【题目】某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.
(1)请直接写出y与x的函数关系式;
(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?
(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
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