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【题目】如图1(注:与图2完全相同),二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积(请在图1中探索);
(3)若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ所在的直线翻折,点A恰好落在抛物线上E点处,请直接判定此时四边形APEQ的形状,并求出E点坐标(请在图2中探索).

【答案】
(1)

解:∵二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),

解得:

∴y= x2 x﹣4


(2)

解:过点D作DM⊥y轴于点M,

∵y= x2 x﹣4= (x﹣1)2

∴点D(1,﹣ )、点C(0,﹣4),

则SACD=S梯形AOMD﹣SCDM﹣SAOC

= ×(1+3)× ×( ﹣4)×1﹣ ×3×4

=4;


(3)

解:四边形APEQ为菱形,E点坐标为(﹣ ,﹣ ).理由如下

如图2,E点关于PQ与A点对称,过点Q作,QF⊥AP于F,

∵AP=AQ=t,AP=EP,AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP,

∴四边形AQEP为菱形,

∵FQ∥OC,

= =

= =

∴AF= t,FQ= t

∴Q(3﹣ t,﹣ t),

∵EQ=AP=t,

∴E(3﹣ t﹣t,﹣ t),

∵E在二次函数y= x2 x﹣4上,

∴﹣ t= (3﹣ t)2 (3﹣ t)﹣4,

∴t= ,或t=0(与A重合,舍去),

∴E(﹣ ,﹣


【解析】(1)将A,B点坐标代入函数y= x2+bx+c中,求得b、c,进而可求解析式;(2)由解析式先求得点D、C坐标,再根据SACD=S梯形AOMD﹣SCDM﹣SAOC , 列式计算即可;(3)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又由A、E对称,则AP=EP,AQ=EQ,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示E点坐标,又E在E函数上,所以代入即可求t,进而E可表示.本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识,总体来说题意复杂但解答内容都很基础,熟练地运用数形结合是解决问题的关键.

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写出图1中所有的全等三角形_________________;

线段AF与线段CE的数量关系是_________________;

(2)问题探究

如图2,△ABC,∠BAC=45°,AB=BCAD平分BACADCD垂足为DADBC交于点E

求证AE=2CD

(3)拓展延伸

如图3,△ABC,∠BAC=45°,AB=BCDAC,∠EDC=BACDECE垂足为EDEBC交于点F

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