Question

如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）如果⊙O的半径为4，CD=4

3

，求∠BAC的度数；
（2）若点E为

ADB

的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出CH的长，利用三角形的角边关系求出角BOC，然后就可求出∠COH．
（2）利用等腰三角形的性质得出∠E=∠OCE，再利用平行线的判定得出OE∥CD即可证明CE平分∠OCD；
（3）首先求得AC所对的两个弧上，各自到AC的最远的点，与弦AC之间的距离，根据与3的大小关系即可作出判断．

解答：（1）解：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB
∴CH=

1

2

CD=2

3

（1分）
在Rt△COH中，sin∠COH=

CH

OC

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠COH=60° （2分）
∴∠BAC=

1

2

∠COH=30°；（3分）

（2）证明：∵点E是

ADB

的中点
∴OE⊥AB （4分）
又∵CD⊥AB，
∴OE∥CD
∴∠ECD=∠OEC （5分）
又∵∠OEC=∠OCE
∴∠OCE=∠DCE （6分）
∴CE平分∠OCD；（6分）

（3）解：圆周上到直线AC的距离为3的点有2个． （8分）
因为圆弧

AC

上的点到直线AC的最大距离为2，

ADC

上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴
对称性，

ADC

到直线AC距离为3的点有2个． （10分）

点评：本题综合考查了圆心角，弧弦的关系，学生在做这一部分题时，一定要把圆的有关知识综合使用．