Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．
（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）当=时，△PFD∽△BFP．
设AD=AB=a，则AP=PB=a，
∵∠A=∠PBC，∠ADP=∠EPB，
∴Rt△APD∽Rt△BFP，
∴=，
∴BF=BP•=a，
∴PD==a，PF==a，
∴=，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．
分析：（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得 的比值．
点评：本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，是一道相似形综合题．正确探究三角形相似的性质是解题的关键．