Question

如图，⊙0是△ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，DE⊥BC于E，AF⊥BC于F．
（1）求证：BE=CF；
（2）作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的长．

Answer 1

（1）证明：延长DE交⊙0于H，连接AH、BH．
∵AF⊥BC，DE⊥EC，∠AHE=90°，
∴四边形AHEF为矩形，
∴AF=EH，AH∥EF，
∴∠HAB=∠ABC，
∴BH=AC，
∴Rt△BEH≌Rt△CFA，
∴BE=CF；

（2）解：连接CD，连接FO并延长交DE于P点．
则△AFO≌△DPO，
∴AF=DP，OF=OP，
∴OG=PE，
∴PE=2，
∴AF=DP=1
∵DE=BF=CE，
∴∠BCD=45°
又∠ACD=90°，∠ACB=45°．
∴AC=
分析：（1）延长DE交⊙0于H，连接AH、BH．则四边形AHEF为矩形，可证明Rt△BEH≌Rt△CFA，则BE=CF；
（2）连接CD，连接FO并延长交DE于P点．则△AFO≌△DPO，可得出BCD=45°，∠ACB=45°，从而得出AC=．
点评：本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，难度适中．