Question

【题目】如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3），与x轴负半轴的交点为B．

（1）求抛物线的解析式与点B坐标；

（2）若点D在x轴上，使△ABD是等腰三角形，求所有满足条件的点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（﹣1，0）；（2）点D坐标为，，（2，0），（5，0）；（3）M（4，5）或（﹣2，5）

【解析】

(1)将点A,C的坐标代入求解即可.

(2) 作AM⊥x轴于M,分类讨论当BA=BD时,点D在B的左侧和点D在B的右侧,D点坐标;当AD=BD时,D点坐标;当AB=AD时,D点坐标.

(3)抛物线图象得A、B,、N的坐标,结合图象可得两种可能情况,代入求值即可.

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）与C（0，﹣3）

∴，

解得，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，

当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1

∵点B在x轴负方向，

∴点B坐标为（﹣1，0）；

（2）作AM⊥x轴于M，

∴点M（2，0），AM＝3，

∴AM＝BM＝3，

∴∠ABM＝45°

∴AB＝

当BA＝BD时，若点D在B点左侧，此时点D，

若点D在B点右侧，此时点D，

当AD＝BD时，显然点D即为点M，坐标（2，0），

当AB＝AD时，DM＝BM＝3，此时点D（5，0），

综上所述：点D坐标为，，（2，0），（5，0）；

（3）抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，

∴对称轴为x＝1，即点N横坐标为1，

∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，其中AB∥MN，

∴xB﹣xM＝xA﹣xN或xB﹣xN＝xA﹣xM，

∴﹣1﹣xM＝2﹣1或﹣1﹣1＝2﹣xM，

∴xM＝﹣2或4，

∴M（4，5）或（﹣2，5）．