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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．
    （1）求证：△BEF∽△CEG．
    （2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
    （3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y=16？
    考点：四边形综合题
    专题：综合题
    分析：（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定即可解决问题．
    （2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=
    3
    5
    x，EF=
    4
    5
    x．易证△CEG∽△BAM，根据相似三角形的性质可得CG=6-
    3
    5
    x，EG=8-
    4
    5
    x，从而可得C△BEF+C△CEG=24．
    （3）由（2）得：EF=
    4
    5
    x，DG=11-
    3
    5
    x，就可求出y和x之间的函数关系式，然后把y=16代入该解析式，就可求出x的值．
    解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AB∥DC，即BF∥CG，
    ∴△BEF∽△CEG．

    （2）△BEF和△CEG的周长之和等于24．
    理由：解：设BE=x，
    ∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，
    ∴BM=
    		AB2-AM2
    =3．
    ∵AM⊥BC，EF⊥AB，
    ∴∠AMB=∠EFB=90°．
    ∵∠B=∠B，
    ∴△BEF∽△BAM，
    ∴
    BF
    BM
    =
    EF
    AM
    =
    BE
    BA
    ，
    ∴
    BF
    3
    =
    EF
    4
    =
    x
    5
    ，
    ∴BF=
    3
    5
    x，EF=
    4
    5
    x．
    ∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，
    ∴△CEG∽△BAM，
    ∴
    CE
    BA
    =
    CG
    BM
    =
    EG
    AM
    ，
    ∴
    10-x
    5
    =
    CG
    3
    =
    EG
    4
    ，
    ∴CG=6-
    3
    5
    x，EG=8-
    4
    5
    x，
    ∴C△BEF+C△CEG=
    3
    5
    x+
    4
    5
    x+x+6-
    3
    5
    x+8-
    4
    5
    x+10-x=24．

    （3）解：由（2）得：EF=
    4
    5
    x，DG=DC+CG=5+6-
    3
    5
    x=11-
    3
    5
    x，
    ∴y=
    1
    2
    EF•DG=
    1
    2
    ×
    4
    5
    x•（11-
    3
    5
    x）=-
    6
    25
    x2+
    22
    5
    x．
    若y=16，则有-
    6
    25
    x2+
    22
    5
    x=16，
    整理得：3x2-55x+200=0，
    即（3x-40）（x-5）=0，
    解得：x1=
    40
    3
    ，x2=5．
    ∵E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合），
    ∴x＜10，
    ∴x=5．
    ∴当x=5时，y=16．
    点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．
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    ．
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