Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC．OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接写出线段CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）连接OC，根据平行线的性质得到∠OEA＝∠ACB，由圆周角定理得到∠OEA＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，证明△ADO≌△CDO（SSS），得出∠DAO＝∠OCD，根据切线的性质得到∠DAO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论；

（2）证明△BOC是等边三角形，得出∠BOC＝60°，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：连接OC，

∵OE∥BC，

∴∠OEA＝∠ACB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠OEA＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥AC，由垂径定理得OD垂直平分AC，

∴DA＝DC，

∵DO＝DO，OC＝OA，

∴△ADO≌△CDO（SSS），

∴∠DAO＝∠OCD，

∵DA为⊙O的切线，OA是半径，

∴∠DAO＝90°，

∴∠OCD＝∠DAO＝90°，

即OC⊥DC，

∵OC是⊙O的半径，

∴DC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，

又∵OB＝OC，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠FOC＝60°，

又∵AB＝4，

∴OB＝OC＝OA＝2，

在Rt△COF中，tan∠FOC＝，

∴CF＝2．