Question

12．已知：如图，点M是锐角△AOB的AB边上任意一点．
（1）请在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得△PMQ的周长最小；如果OM=2，∠AOB=30°，求此时△PMQ的周长．
作法：作M关于OA的对称点M′，作M关于OB的对称点M″，连接M′M″交OA于P，交OB于Q，则线段M′M″的长度=△PMQ的周长最小值；
（2）当点M在AB边上运动时，△PMQ的周长会发生变化吗？如果会发生变化，请研究△PMQ的周长何时会取到最小值．

Answer 1

分析 （1）作M关于OA的对称点M′，作M关于OB的对称点M″，连接M′M″交OA于P，交OB于Q，于是得到线段M′M″的长度=△PMQ的周长最小值，连接OM′，OM″，OM，根据轴对称的性质得到OM=OM′=OM″，∠M′OA=∠MOA，∠MOB=∠M″OB，推出△M′OM″是等边三角形，即可得到结论；
（2）△PMQ的周长会发生变化，由（1）知，△PMQ的周长=M′M″，当△PMQ的周长取到最小值时，M′M″取到最小值，由于M′M″=OM，于是得到OM⊥AB时，OM取到最小值，即可得到结论．

解答 解：（1）作法：作M关于OA的对称点M′，作M关于OB的对称点M″，连接M′M″交OA于P，交OB于Q，则线段M′M″的长度=△PMQ的周长最小值，
连接OM′，OM″，OM，
∴OM=OM′=OM″，∠M′OA=∠MOA，∠MOB=∠M″OB，
∵∠AOB=30°，
∴∠M′OM″=60°，
∴△M′OM″是等边三角形，
∴M′M″=OM=2，
∴此时△PMQ的周长=2；
故答案为：作M关于OA的对称点M′，作M关于OB的对称点M″，连接M′M″交OA于P，交OB于Q，则线段M′M″的长度=△PMQ的周长最小值，

（2）△PMQ的周长会发生变化，
由（1）知，△PMQ的周长=M′M″，
当△PMQ的周长取到最小值时，
M′M″取到最小值，
∵M′M″=OM，
∴OM取到最小值，
∴OM⊥AB时，OM取到最小值，
即OM⊥AB时，△PMQ的周长取到最小值．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，线段的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．