Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(－4，0)，B点坐标为(1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论；

（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似．若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，见解析；（3）存在，(-4,8)、(-4,2)、、

【解析】

(1)由A点坐标和B点坐标,可以求出AB的长度,即圆的直径可以求出,进而得出圆的半径长度,根据B点坐标,求出OP的长,再根据勾股定理求出C点坐标,设出二次函数交点式,将C点坐标代入求解即可.

(2)直线与圆的位置关系无非是相切或不相切,可连接PC,证PC是否与MC垂直即可.本题可先求出直线MC与x轴的交点N的坐标,然后分别求出PN,PC,CN的长,用勾股定理逆定理进行判断.

(3)△OBC与△AOQ相似,△OBC与△AQO相似,△OBC与△QAO相似,△OBC与△QOA相似,四种情况讨论根据三角形相似的性质列出关系式求解即可.

y个

(1)连接PC,.

∵A(-4,0),B(1,0)

∴AB=5,

∵P是AB的中点,且是的圆心

∴PC=PA=2.5,OP=4-2.5=1.5.

∴

∴C(0,-2).

设经过A.B.C三点的抛物线为

.

抛物线为

(2)直线MC与相切.

将配方,得

∴顶点M为

设直线MC为y=kx+b,则有

解得

∴直线MC为

设MC与x轴交于点N,

在中,令y=0,得

∴MC与OP相切.

(3)当△OBC与△AOQ相似,

OB:OC=AO:AQ,

即1:2=4:AQ,

解得AQ=8,

则Q点坐标为(-4,8);

当△OBC与△AQO相似,

OB:OC=AQ:AO,

即1:2=AQ:4,

解得AQ=2,

则Q点坐标为(-4,2);

当△OBC与△QAO相似,

OC:BC=QO:AO,

即,

解得,

则Q点横坐标为

纵坐标为.

则Q点坐标为

当△OBC与△QO4相似,

OB:BC=QO:AO,

即,

解得,

则Q点横坐标为

纵坐标为

则Q点坐标为

综上所述,使得以A,O,Q为顶点的三角形与△OBC相似,

所有满足的Q点坐标为：

(-4,8)、(-4,2)、、